2 - raytracer 프로젝트 - 수학적 배경

이 글은 raytracer 시리즈입니다.

이전 글에서 벡터와 행렬에 대해 간단히 알아봤다. 이번 글에서 조금 더 자세히 알아보자.

목차

• 벡터
  • 벡터의 덧셈, 뺄셈
  • 벡터의 스칼라 곱
  • 벡터의 내적
  • 벡터의 외적
  • 벡터의 길이
  • 벡터의 정규화
• 행렬
  • 행렬의 곱셈
• 변환 행렬

벡터

벡터는 크기와 방향을 가진 양으로, 힘, 속도, 가속도 같은 방향성을 가진 양을 나타낸다.

벡터는 수들의 목록(배열)으로 표현될 수 있으며, 갹 숫자들은 그 벡터의 성분, 원소이다.

벡터의 덧셈, 뺄셈

벡터의 덧셈은 단순히 각 원소를 더한 것으로 정의된다.

$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_x + \mathbf{b}_x & \mathbf{a}_y + \mathbf{b}_y & \mathbf{a}_z + \mathbf{b}_z \end{bmatrix}$

뺄셈도 마찬가지로 단순히 각 원소를 뺀 것으로 정의된다.

$\mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_x - \mathbf{b}_x & \mathbf{a}_y - \mathbf{b}_y & \mathbf{a}_z - \mathbf{b}_z \end{bmatrix}$

벡터의 스칼라 곱

벡터의 스칼라 곱은 각 원소에 스칼라를 곱한 것으로 정의된다.

$\mathbf{v} k = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_x k & \mathbf{v}_y k & \mathbf{v}_z k \end{bmatrix}$

벡터는 값이 여러개일 수 있다. 예를 들어 여기서는 3개. 스칼라란 값이 1개인 것을 말한다.

벡터의 내적

벡터의 내적은 두 벡터 간의 스칼라 곱으로, 두 벡터의 각 원소를 곱한 것을 모두 더해서 스칼라 값을 얻는 연산이다.

내적은 두 벡터의 각도와 관련이 있으며, 두 벡터가 서로 직각인 경우 내적의 결과는 0이 된다.

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

벡터의 외적

외적은 3차원과 7차원에서만 정의되는 특별한 연산이다. 두 벡터에 수직인 벡터를 얻을 수 있다.

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_y b_z - a_z b_y & a_z b_x - a_x b_z & a_x b_y - a_y b_x \end{bmatrix}$

벡터의 길이

길이는 피타고라스의 정리에 따라 각 원소의 제곱을 모두 더한 것의 제곱근으로 구할 수 있다.

$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\mathbf{v}_x^2 + \mathbf{v}_y^2 + \mathbf{v}_z^2}$

벡터의 정규화

벡터를 그 벡터의 길이로 나눈, 길이가 1인 벡터를 단위 벡터라고 한다.

$\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \begin{bmatrix} \frac{v_x}{\|\mathbf{v}\|} & \frac{v_y}{\|\mathbf{v}\|} & \frac{v_z}{\|\mathbf{v}\|} \end{bmatrix}$

단위 벡터의 방향은 원본 벡터와 동일하다. 방향 벡터를 구하는 데 사용된다.

행렬

행렬은 숫자들이 행과 열로 이루어진 직사각형 배열(2차원 배열)이다.

행렬의 곱셈

행렬의 곱 $AB$의 각 원소는 $A$의 해당 행을 이루는 벡터와 $B$의 해당 행을 이루는 벡터의 내적이 된다.

$A \times B$ 행렬은 $B \times C$ 행렬과 곱할 수 있으며, 결과는 $A \times C$ 행렬이 된다.

$2 \times 3$ 행렬 $A$와 $3 \times 4$ 행렬 $B$를 곱하면 결과는 $2 \times 4$ 행렬이 된다.

예를 들어 $A$와 $B$가 이렇게 된다면,

• $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}$
• $B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} \end{bmatrix}$

결과 행렬 $AB$는 이렇게 계산된다.

$$AB = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} & a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} + a_{13}b_{33} & a_{11}b_{14} + a_{12}b_{24} + a_{13}b_{34} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} & a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} + a_{23}b_{33} & a_{21}b_{14} + a_{22}b_{24} + a_{23}b_{34} \end{bmatrix}$$

$A \times B$ 행렬과 $B \times C$ 행렬을 곱한 결과는 $A \times C$ 행렬이 된다고 했는데,
$A$와 $C$가 다르다면 $B \times C$ 행렬은 $A \times B$ 행렬과 곱할 수 없다.

즉, 행렬 $A$와 $B$가 있을 때, 그 둘을 곱한 $AB$와 $BA$가 다를 수 있다.

그러므로 행렬은 곱하는 순서가 중요하다.

변환 행렬

크기 조절, 회전, 이동 등 다양한 변환을 벡터에 행렬을 곱함으로써 적용할 수 있다.

여러가지 변환을 적용한다면, 적용하는 순서에 따라 다른 결과가 나올 수 있는데, 이는